Расчет эллипса формула. Овал

Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки (центра окружности). Расстояние от любой точки окружности \(P\left({x,y} \right)\) до ее центра называется радиусом . Центр окружности и сама окружность лежат в одной и той же плоскости. Уравнение окружности радиуса \(R\) с центром в начале координат (каноническое уравнение окружности ) имеет вид
\({x^2} + {y^2} = {R^2}\).

Уравнение окружности радиуса \(R\) с центром в произвольной точке \(A\left({a,b} \right)\) записывается как
\({\left({x - a} \right)^2} + {\left({y - b} \right)^2} = {R^2}\).



Уравнение окружности, проходящей через три точки , записывается в виде: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2}} & x & y & 1\\ {x_1^2 + y_1^2} & {{x_1}} & {{y_1}} & 1\\ {x_2^2 + y_2^2} & {{x_2}} & {{y_2}} & 1\\ {x_3^2 + y_3^2} & {{x_3}} & {{y_3}} & 1 \end{array}} \right| = 0.\\\)
Здесь \(A\left({{x_1},{y_1}} \right)\), \(B\left({{x_2},{y_2}} \right)\), \(C\left({{x_3},{y_3}} \right)\) − три точки, лежащие на окружности.



Уравнение окружности в параметрической форме
\(\left\{ \begin{aligned} x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end{aligned} \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\),
где \(x\), \(y\) − координаты точек окружности, \(R\) − радиус окружности, \(t\) − параметр.

Общее уравнение окружности
\(A{x^2} + A{y^2} + Dx + Ey + F = 0\)
при условии \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Центр окружности расположен в точке с координатами \(\left({a,b} \right)\), где
\(a = - \large\frac{D}{{2A}}\normalsize,\;\;b = - \large\frac{E}{{2A}}\normalsize.\)
Радиус окружности равен
\(R = \sqrt {\large\frac{{{D^2} + {E^2} - 4AF}}{{2\left| A \right|}}\normalsize} \)

Эллипсом называется плоская кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов эллипса ) постоянна. Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием и обозначается через \(2c\). Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса . У эллипса есть две оси симметрии: первая или фокальная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей вторая ось. Точки пересечения этих осей с эллипсом называются вершинами . Отрезок, соединяющий центр эллипса с вершиной, называется полуосью эллипса . Большая полуось обозначается через \(a\), малая полуось − через \(b\). Эллипс, центр которого находится в начале координат, а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением :
\(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 1.\)



Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна:
\({r_1} + {r_2} = 2a\),
где \({r_1}\), \({r_2}\) − расстояния от произвольной точки \(P\left({x,y} \right)\) до фокусов \({F_1}\) и \({F_2}\), \(a\) − большая полуось эллипса.



Соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием
\({a^2} = {b^2} + {c^2}\),
где \(a\) − большая полуось эллипса, \(b\) − малая полуось, \(c\) − половина фокусного расстояния.

Эксцентриситет эллипса
\(e = \large\frac{c}{a}\normalsize

Уравнения директрис эллипса
Директрисой эллипса называется прямая, перпендикулярная его фокальной оси и пересекающая ее на расстоянии \(\large\frac{a}{e}\normalsize\) от центра. Эллипс имеет две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис записываются в виде
\(x = \pm \large\frac{a}{e}\normalsize = \pm \large\frac{{{a^2}}}{c}\normalsize.\)

Уравнение эллипса в параметрической форме
\(\left\{ \begin{aligned} x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end{aligned} \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\),
где \(a\), \(b\) − полуоси эллипса, \(t\) − параметр.

Общее уравнение эллипса
\(A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
где \({B^2} - 4AC

Общее уравнение эллипса, полуоси которого параллельны осям координат
\(A{x^2} + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
где \(AC > 0\).

Периметр эллипса
\(L = 4aE\left(e \right)\),
где \(a\) − большая полуось эллипса, \(e\) − эксцентриситет, \(E\) − полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближенные формулы для периметра эллипса
\(L \approx \pi \left[ {\large\frac{3}{2}\normalsize\left({a + b} \right) - \sqrt {ab} } \right],\;\;L \approx \pi \sqrt {2\left({{a^2} + {b^2}} \right)},\)
где \(a\), \(b\) − полуоси эллипса.

Площадь эллипса
\(S = \pi ab\)

Овал - это замкнутая коробовая кривая, имеющая две оси симметрии и состоящая из двух опорных окружностей одинакового диаметра, внутренне сопряженных дугами (рис. 13.45). Овал характеризуется тремя параметрами: длина, ширина и радиус овала. Иногда задают только длину и ширину овала, не определяя его радиусов, тогда задача построения овала имеет большое множество решений (см. рис. 13.45, а...г).

Применяют также способы построения овалов на основе двух одинаковых опорных кругов, которые соприкасаются (рис. 13.46, а), пересекаются (рис. 13.46, б) или не пересекаются (рис. 13.46, в). При этом фактически задают два параметра: длину овала и один из его радиусов. Эта задача имеет множество решений. Очевидно, что R > ОА не имеет верхней границы. В частности R = О 1 О 2 (см. рис. 13.46.а, и рис. 13.46.в), а центры О 3 и О 4 определяют, как точки пересечения базовых кругов (см. рис. 13.46,б). Согласно общей теорией точки, сопряжения определяются на прямой, соединяющей центры дуг соприкасающихся окружностей.

Построение овала с соприкасаю­щимися опорными окружностями (задача имеет множество решений) (рис. 3.44). Из центров опорных окружностей О и 0 1 радиусом, равным, например, расстоянию между их центрами, проводят дуги окруж­ностей до пересечения в точках О 2 и О 3 .

Рисунок 3.44

Если из точек О 2 и О 3 провести прямые через центры О и O 1 , то в пересечении с опорными окружнос­тями получим точки сопряжения С , C 1 , D и D 1 . Из точек О 2 и О 3 как из центров радиусом R 2 проводят дуги сопряжения.

Построение овала с пересека­ющимися опорными окружностями (задача также имеет множество решений) (рис. 3.45). Из точек пе­ресечения опорных окружностей С 2 и О 3 проводят прямые, например, через центры О и O 1 до пересечения с опорными окружностями в точках сопряжения С, С 1 D и D 1 , а ра­диусами R 2 , равными диаметру опорной окружности,- дуги со­пряжения.

Рисунок 3.45 Рисунок 3.46

Построение овала по двум задан­ным осям АВ и CD (рис. 3.46). Ниже приведен один из множества вариантов решения. На верти­кальной оси откладываются отре­зок ОЕ, равный половине большой оси АВ. Из точки С как из центра проводят дугу радиусом СЕ до пе­ресечения с отрезком АС в точке Е 1 . К середине отрезка АЕ 1 восстанавливают перпендикуляр и отмечают точки его пересечения с осями ова­ла O 1 и 0 2 . Строят точки O 3 и 0 4 , симметричные точкам O 1 и 0 2 от­носительно осей CD и АВ. Точки O 1 и 0 3 будут центрами опорных ок­ружностей радиуса R 1 , равного от­резку О 1 А, а точки O 2 и 0 4 - цент­рами дуг сопряжения радиуса R 2 , равного отрезку О 2 С. Прямые, со­единяющие центры O 1 и 0 3 с O 2 и 0 4 в пересечении с овалом опреде­лят точки сопряжения.

В AutoCAD построение овала производится с помощью двух опорных окружностей одинакового радиуса, которые:

1. имеют точку соприкосновения;

2. пересекаются;

3. не пересекаются.

Рассмотрим первый случай. Строят отрезок OO 1 =2R, параллельный оси Х, на его концах (точки О и О 1) размещают центры двух опорных окружностей радиуса R и центры двух вспомогательных окружностей радиуса R 1 =2R. Из точек пересечения вспомогательных окружностей О 2 и О 3 строят дуги CD и C 1 D 1 соответственно. Удаляют вспомогательные окружности, затем относительно дуг CD и C 1 D 1 обрезают внутренние части опорных окружностей. На рисунке ъъъ полученный овал выделен толстой линией.

Рисунок Построение овала с соприкасающимися опорными окружностями одинакового радиуса

В астрономии, когда рассматривают движение космических тел по орбитам, часто применяют понятие "эллипс", поскольку их траектории характеризуются именно этой кривой. Рассмотрим в статье вопрос, что представляет собой отмеченная фигура, а также приведем формулу длины эллипса.

Что такое эллипс?

Согласно математическому определению, эллипс - это замкнутая кривая, для которой сумма расстояний от любой ее точки до двух других определенных точек, лежащих на главной оси, и носящих название фокусов, является постоянной величиной. Ниже приведен рисунок, который поясняет это определение.

На рисунке сумма расстояний PF" и PF равна 2 * a, то есть PF" + PF = 2 * a, где F" и F - фокусы эллипса, "a" - длина его большой полуоси. Отрезок BB" называется малой полуосью, а расстояние CB = CB" = b - длина малой полуоси. Здесь точка C определяет центр фигуры.

На рисунке выше также показан простой метод с веревкой и двумя гвоздиками, который широко используется для изображения эллиптических кривых. Другой способ получить эту фигуру заключается в выполнении под любым углом к его оси, который не равен 90 o .

Если эллипс вращать вдоль одной из его двух осей, то он образует объемную фигуру, которая зазывается сфероидом.

Формула длины окружности эллипса

Хотя рассматриваемая фигура является достаточно простой, длину ее окружности точно можно определить, если вычислить так называемые эллиптические интегралы второго рода. Однако, индусский математик-самоучка Рамануджан еще в начале XX века предложил достаточно простую формулу длины эллипса, которая приближается к результату отмеченных интегралов снизу. То есть рассчитанное по ней значение рассматриваемой величины будет немного меньше, чем реальная длина. Эта формула имеет вид: P ≈ pi * , где pi = 3,14 - число пи.

Например, пусть длины двух полуосей эллипса будут равны a = 10 см и b = 8 см, тогда его длина P = 56,7 см.

Каждый может проверить, что если a = b = R, то есть рассматривается обычная окружность, тогда формула Рамануджана сводится к виду P = 2 * pi * R.

Отметим, что в школьных учебниках часто приводится другая формула: P = pi * (a + b). Она является более простой, но и менее точной. Так, если ее применить для рассмотренного случая, то получим значение P = 56,5 см.

В астрономии, когда рассматривают движение космических тел по орбитам, часто применяют понятие "эллипс", поскольку их траектории характеризуются именно этой кривой. Рассмотрим в статье вопрос, что представляет собой отмеченная фигура, а также приведем формулу длины эллипса.

Что такое эллипс?

Согласно математическому определению, эллипс - это замкнутая кривая, для которой сумма расстояний от любой ее точки до двух других определенных точек, лежащих на главной оси, и носящих название фокусов, является постоянной величиной. Ниже приведен рисунок, который поясняет это определение.

Вам будет интересно:

На рисунке сумма расстояний PF" и PF равна 2 * a, то есть PF" + PF = 2 * a, где F" и F - фокусы эллипса, "a" - длина его большой полуоси. Отрезок BB" называется малой полуосью, а расстояние CB = CB" = b - длина малой полуоси. Здесь точка C определяет центр фигуры.

На рисунке выше также показан простой метод с веревкой и двумя гвоздиками, который широко используется для изображения эллиптических кривых. Другой способ получить эту фигуру заключается в выполнении сечения конуса под любым углом к его оси, который не равен 90o.

Если эллипс вращать вдоль одной из его двух осей, то он образует объемную фигуру, которая зазывается сфероидом.

Формула длины окружности эллипса

Хотя рассматриваемая фигура является достаточно простой, длину ее окружности точно можно определить, если вычислить так называемые эллиптические интегралы второго рода. Однако, индусский математик-самоучка Рамануджан еще в начале XX века предложил достаточно простую формулу длины эллипса, которая приближается к результату отмеченных интегралов снизу. То есть рассчитанное по ней значение рассматриваемой величины будет немного меньше, чем реальная длина. Эта формула имеет вид: P ≈ pi * , где pi = 3,14 - число пи.

Например, пусть длины двух полуосей эллипса будут равны a = 10 см и b = 8 см, тогда его длина P = 56,7 см.

Каждый может проверить, что если a = b = R, то есть рассматривается обычная окружность, тогда формула Рамануджана сводится к виду P = 2 * pi * R.

Отметим, что в школьных учебниках часто приводится другая формула: P = pi * (a + b). Она является более простой, но и менее точной. Так, если ее применить для рассмотренного случая, то получим значение P = 56,5 см.

Когда мы имеем дело с круглыми кадками, всё довольно-таки просто. Действительно, есть диаметры - верхний и нижний, есть высота клёпки, нетрудно посчитать периметр... Остаётся только изготовить шаблон и строгать себе, набирая необходимую суммарную ширину клёпок. А как быть, если наше изделие - овальное? Сколько нужно для его изготовления шаблонов, и каких? Как формируется эта плавная линия, переходящая от малых радиусов в торцах изделия к большим, имеющим сравнительно незначительный изгиб, бокам?

Чтобы разобраться в этом вопросе, давайте начнём с метода, описанного Г. Я. Федотовым в книге «Секреты бондарного ремесла» . Вот что предлагает нам автор в главе «Анкерок», посвящённой изготовлению этого переносного плоского бочонка, имеющего в сечении овал.

Геометрический метод расчёта параметров овала по Федотову

Как известно, овал состоит из четырёх сопрягаемых дуг - двух больших и двух малых. Остов словно собран из клёпок большого и маленького бочонка. По сути дела, так оно и есть. Только, разумеется, клёпки двух видов мастер изготовляет специально - одни как бы для малого бочонка, другие - для большого. Затем, расположив их в определённом порядке, стягивает обручами, получая остов с прижатыми боками и овальным сечением.

Для того, чтобы точно определить, какими должны быть клёпки того и другого вида, сколько их должно входить в набор остова, необходимо выполнить некоторые расчёты. Прежде всего на листе бумаги в натуральную величину вычерчивают овальное сечение остова в самой широкой его части. Циркулем проводят вспомогательную окружность, диаметр которой должен быть равен высоте бочонка. (Под высотой в данном случае Г.Я. Федотов подразумевает большую ось овала - это видно из рисунка ). Её центр отмечают двумя взаимно перпендикулярными осевыми линиями. Вертикальную ось делят на пять равных частей. Вокруг точек 1 и 4 проводят две малые окружности, касательные к большой вспомогательной окружности. Через точки пересечения горизонтальной осевой линии со вспомогательной окружностью и центры малых окружностей проводят прямые линии. В местах пересечения этих линий с дугами малых окружностей будут находиться так называемые точки сопряжения. Их соединяют с помощью циркуля большими дугами. Центры этих дуг будут находиться на пересечении горизонтальной осевой линии и большой дуги вспомогательной окружности.

Руководствуясь вычерченным на бумаге овалом, изготовляют два шаблона. Контуры одного из них должны соответствовать малой дуге овала, а другого - большой.

Для того чтобы точно установить, сколько клёпок потребуется для сборки остова бочонка, необходимо определить его периметр. Он будет равен сумме длины больших и малых дуг. Длину каждой дуги находят следующим образом. Сначала определяют периметр полных окружностей, частью которых являются дуги, составляющие овал. Периметры устанавливают по формуле 2πR, где π=3,14. Затем, разделив периметр малой окружности на 3 части, получают длину малой дуги. В свою очередь периметр большой окружности делят на шесть частей и определяют длину большой дуги. Суммарную длину двух дуг удваивают и получают периметр овала.

Не правда ли - всё просто? Этот метод действительно работает, и работает безупречно.

Но что, если наше овальное изделие - ванна объёмом литров на 500?

Вычертить её в натуральную величину - задача не из самых лёгких. А ведь таких чертежей нужно два - для верхнего и для нижнего овала.

Масштабирование? Чревато неточностями…

Из геометрии построения, приведённой Г. Я. Федотовым нетрудно вывести формулы, с помощью которых те же величины можно получить, не вычерчивая ничего на бумаге.

Алгебраический метод расчёта параметров овала по Федотову

Несмотря на то, что Геннадий Яковлевич этих формул в книге не приводит, мы всё равно назовём метод его именем, поскольку он верен только для чертежа, приведённого выше, и, по сути, просто его заменяет.

Итак, пусть L - длина овала, l - его ширина, r - радиус малой окружности, R - радиус большой окружности.

1) Находим радиус малой окружности:

r= L/5

2) Находим вспомогательную величину h - расстояние между точкой пересечения осевых линий и центром малой окружности A 1:

h=1,5 r

3)Находим вспомогательную величину c - расстояние между двумя параллельными прямыми B 2 A 1 и A 2 B 1:

c=√ [(L/2) 2 + h 2 ]

4) Находим радиус большой дуги R:

R= c+ r

5) Находим вспомогательную величину q - расстояние между точкой B 1 (B 2) и точкой пересечения большой дуги овала и горизонтальной осевой линии:

q= L- R

6) Находим ширину овала l:

l= L-2 q

7) Умножаем на 2 радиусы R и r находим параметры D и d. Это наши диаметры - те, что нужны для изготовления шаблонов.

8) Находим длину малой дуги m:

m= πd/3

9) Находим длину большой дуги M:

M= πD/6

10) И, наконец, находим периметр овала p:

p=2(M+ m)

Этот расчёт придётся повторить для нахождения параметров второго овала (низа или верха нашей ванны).

При расчёте овала по Федотову нужно иметь в виду некоторые особенности.

Во-первых, мастер может задавать только длину овала L. Его ширина l уже рассчитывается, то есть оказывается жёстко привязана к определённому значению длины. Другими словами, если нам нужно изменить ширину, придётся менять и длину. Это неудобно.

Во-вторых, при расчётах по этому методу получается, что у больших и малых дуг нашего изделия оказывается разная конусность . Так, для ванны в 500 л ,
которая рассчитана именно таким способом, диаметры больших дуг сверху и снизу равны 204 и 234 см соответственно, а диаметры малых - 52 и 60. Таким образом, при высоте клёпки в 85 см коэффициент конусности для малой дуги равен 0,094, а для большой - 0,353. Для такого овала не работают закономерности, описанные в статье «Конусность бондарного изделия» , и надёжность фиксации деревянных обручей на определённой высоте приходится определять опытным путём.

Универсальные формулы для расчётов параметров овала

Однако, оказывается, вертикальную ось овала на нашем чертеже необязательно делить именно на пять частей. Можно и на четыре части, и на три, и на шесть. Более того, вообще необязательно её делить на равные части. Угол, образованный горизонтальной осевой и линиями AB вообще может быть любым (в пределах чертежа, конечно же).

Обозначим этот угол символом γ. И пусть оси овала (его длина и ширина соответственно) равны a и b.

Тогда универсальные формулы для расчёта параметров овала будет выглядеть так:

R=[(b/2*(sin(γ )-1)+(a/2*cos γ )] /

r=[(b/2*cos (γ /2)) - (a/2*sin (γ /2))] / [(cos (γ /2)-sin (γ /2)]

Выглядят страшновато? Хм, пожалуй, так и есть. Но зато, применяя эти формулы, мы можем свободно задавать три параметра: длину овала, его ширину и вспомогательный угол γ. А это означает, что мы можем рассчитать овал с любыми заданными габаритными размерами a и b, да ещё и не один. С одними и теми же значениями a и b мы можем получить столько разных овалов, сколько сможем придумать различных значений вспомогательного угла γ, вписывающихся в чертёж.

Поясним на примере. Пусть нам нужно рассчитать овал, оси которого равны 150 и 84 см соответственно (параметры большого овала нашей ванны на 500 л). Из таблицы видно, как будут меняться диаметры D и d, длины большой и малой дуг M и m, а также периметр овала p в зависимости от изменения угла γ.

Все эти овалы будут иметь немного разные контуры, но одни и те же габаритные размеры - 150х84 см.

При этом, задавая значения для большого и малого овалов нашего изделия, мы свободно можем задать одинаковую конусность для большой и малой дуг, что сделает наши овалы как бы равномерно вписанными один в другой, если смотреть на них сверху. У таких изделий разница больших и малых диаметров будет одинакова, а, следовательно, одинаковым будет и коэффициент конусности. Пример такого изделия - наш пуфик ,
имеющий такие параметры: диаметры больших дуг - 96 и 90 см, диаметры малых дуг - 36 и 30 см, длины большого и малого овалов - 66 и 60 см, а их ширины - 44 и 38 см. Как видите, разница как в диаметрах, так и в габаритных размерах везде равна 6 см. Коэффициент конусности при высоте клёпки в 45 см составляет 0,133. Деревянные обручи по всей поверхности натягиваются на изделие одинаково и надёжно фиксируются на заданной высоте.

Для того, чтобы не нужно было каждый раз проводить сложные расчёты, достаточно один раз забить вышеприведённые формулы в какую-нибудь вычислительную программку. Ниже вы можете скачать документ Excel, в которой вводятся только величины a и b (нужно ввести одинаковые значения во все строки), после чего программа автоматически сгенерирует все необходимые параметры таких овалов при широком спектре угла γ. Только ничего не вводите от руки в другие столбцы, чтобы не заменить формулы числовыми значениями.